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El 28 de diciembre de 1882, partió Esquiú desde Córdoba hacia La Rioja, en tren de segunda clase, a pesar del ofrecimiento de un coche especial.
El día siguiente era viernes, y partió Esquiú desde la estación El Recreo, en la mensajería. En todas las casas, a su paso, repartió catecismos, rosarios y medallas.
Ya en La Rioja, cumplió su misión y emprendió su regreso el día 8 de enero de 1883, celebrando antes Misa en el altar de la celda de San Francisco Solano.
Esquiú venía enfermo, los dos primeros días del viaje apenas comió y casi no pudo dormir, aún así atendía a la gente a su paso y prodigaba saludables consejos.
El miércoles 10 de enero de 1883 amaneció bien, comentó que cuando llegue a Recreo “si Dios me da vida hasta allá, me ganaré una cama y tomaré manzanilla...â€; a las dos y media de la tarde, llegaba la mensajería a la posta de El Suncho, donde lo esperaba mucha gente. Allí su secretario ayudado por los lugareños lo bajó y acostó en un humilde catre de tientos de un pobre rancho, luego le administró los últimos sacramentos. A las tres de la tarde el Padre Esquiú falleció.
Su muerte, acaecida en la Posta El Suncho, siendo obispo de Córdoba, conmocionó a todo el país y el gobierno le rindió honores como servidor de la patria, elogiando la prensa sus virtudes de sacerdote, patriota, orador y de obispo.